如何求最大公因數

最大公因數（Greatest Common Divisor, GCD），也稱為最大公約數，是指兩個或更多個整數中最大的那個共同因子。求最大公因數有幾種方法，以下是其中幾種常見的方法：

1. 質因數分解法： 將兩個數分別分解成質因數的乘積，然後找出共同的質因數，將它們相乘得到最大公因數。

   例如，求50和30的最大公因數： 50 = 2 × 2 × 5 × 5 30 = 2 × 3 × 5 最大公因數是2 × 5 = 10

2. 長除法： 用較大的數除以較小的數，得到一個餘數。然後用除數除以這個餘數，再次得到一個餘數。重複這個過程，直到餘數為0，此時的除數就是最大公因數。

   例如，求12和18的最大公因數： 18 ÷ 12 = 1 R 6 12 ÷ 6 = 2 6 ÷ 2 = 3 因為餘數為0，所以最大公因數是2。

3. Euclidean算法（歐幾里得算法）： 這是最常用的求最大公因數的方法，它的基本思想是：兩個數的最大公因數等於它們中的較小數與兩數差的最大公因數。

   例如，求100和80的最大公因數： 100 ÷ 80 = 1 R 20 80 ÷ 20 = 4 所以，100和80的最大公因數等於80和20的最大公因數。 20 ÷ 10 = 2 R 0 所以，100和80的最大公因數是10。

4. 輾轉相除法： 這是一個遞歸算法，可以用來實現Euclidean算法。

   例如，求100和80的最大公因數： gcd(100, 80) = gcd(80, 100 mod 80) = gcd(80, 20) gcd(80, 20) = gcd(20, 80 mod 20) = gcd(20, 60) gcd(20, 60) = gcd(60, 20 mod 60) = gcd(60, 10) gcd(60, 10) = gcd(10, 60 mod 10) = gcd(10, 40) gcd(10, 40) = gcd(40, 10 mod 40) = gcd(40, 30) gcd(40, 30) = gcd(30, 40 mod 30) = gcd(30, 10) gcd(30, 10) = gcd(10, 30 mod 10) = gcd(10, 20) gcd(10, 20) = gcd(20, 10 mod 20) = gcd(20, 0) 因為餘數為0，所以最大公因數是20。

這些方法都可以用來求兩個或更多個整數的最大公因數。在計算機科學中，通常使用Euclidean算法或者輾轉相除法來實現，因為它們的時間複雜度更低。