如何求二次函數最小值

求二次函式最小值的方法通常有以下幾種：

1. 直接配方： 如果二次函式的解析式已經是最小值的形式，可以直接讀出最小值。例如，函式y = x^2 - 4x + 3的最小值是3 - 4 + 1 = 0，因為當x = 2時，函式取得最小值。

2. 配方求最小值： 如果二次函式的解析式不是最小值的形式，可以通過配方將其轉化為最小值的形式。二次函式的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a, b, c是常數，a ≠ 0。如果a > 0，則函式有最小值；如果a < 0，則函式有最大值。

   配方的方法是： y = ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c - \frac{b^2}{4a} = a(\frac{x^2}{a} + \frac{b}{a}x) + c - \frac{b^2}{4a} = a(\frac{x^2}{a} + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}) + c - \frac{b^2}{4a} = a(\frac{x^2}{a} + \frac{b}{a}x + \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}) + c - \frac{b^2}{4a} = a(\frac{(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}{a}) + c - \frac{b^2}{4a} = \frac{(x + \frac{b}{2a})^2}{a} - \frac{b^2 - 4ac}{4a} + c - \frac{b^2}{4a} = \frac{(x + \frac{b}{2a})^2}{a} - \frac{b^2 - 4ac + 4ac - 4ac}{4a} + c - \frac{b^2}{4a} = \frac{(x + \frac{b}{2a})^2}{a} - \frac{b^2 - 4ac}{4a} + c - \frac{b^2}{4a} + \frac{4ac - 4ac}{4a} = \frac{(x + \frac{b}{2a})^2}{a} - \frac{b^2 - 4ac}{4a} + c - \frac{b^2}{4a} = \frac{(x + \frac{b}{2a})^2}{a} - \frac{b^2 - 4ac}{4a} + \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{(x + \frac{b}{2a})^2}{a} - \frac{b^2 - 4ac + b^2}{4a} = \frac{(x + \frac{b}{2a})^2}{a} - \frac{4ac}{4a} = \frac{(x + \frac{b}{2a})^2}{a} - \frac{c}{a} = \frac{(x + \frac{b}{2a})^2 - c}{a}

   最小值（或最大值）出現在x = - \frac{b}{2a}處，即函式的頂點處。如果a > 0，則最小值是- \frac{c}{a}；如果a < 0，則最大值是- \frac{c}{a}。

3. 使用二次函式的圖像： 二次函式的圖像是開口向上（a > 0）或向下（a < 0）的拋物線。如果a > 0，則函式有最小值，且最小值出現在圖像的最低點，即頂點處；如果a < 0，則函式有最大值，且最大值出現在圖像的最高點，即頂點處。可以通過圖像直接讀出最小值（或最大值）。

4. 使用導數： 二次函式的導數是一次函式，可以通過求導數來找到函式的極值點。如果函式的導數為0，則該點可能是極值點。然後，通過檢查導數在該點兩側的符號來確定該點是否為最小值（或最大值）。

5. 使用二次方程的判別式： 對於二次函式y = ax^2 + bx + c，可以通過計算判別式\Delta = b^2 - 4ac來判斷函式是否有最小值（或最大值）。如果\Delta > 0，則函式有最小值（或最大值）；如果\Delta = 0，則函式沒有最小值（或最大值）；如果\Delta < 0，則函式沒有最小值（或最大值）。

在實際套用中，通常會選擇最合適的方法來求解二次函式的最小值。