域元素的最小多項式

在代數幾何和數論中，給定一個域K及其上的代數簇X，X的一個點P的「最小多項式」是這樣一個多項式f(x)∈K[x]，使得f(P)=0，並且如果g(x)是任何使得g(P)=0的多項式，那麼f(x)可以整除g(x)。

在這個語境下，「點」P可以是一個更一般的「子集」或「結構」，而不僅僅是在笛卡爾坐標系中的一個點。最小多項式是一個重要的概念，因為它可以用來描述代數簇的局部性質。

在數論中，特別是在環論的背景下，最小多項式的概念有時也用來描述一個元素在一個域擴展中行為的局部性質。例如，給定一個域K的代數擴展L中的一個元素α，α的最小多項式是這樣的單一變量多項式f(x)∈K[x]，使得f(α)=0，並且如果g(x)是任何使得g(α)=0的多項式，那麼f(x)可以整除g(x)。

在這個語境下，最小多項式是一個重要的工具，可以用來研究代數擴展的性質，例如擴展的度、擴展中元素的根的性質等。