圖論最短路徑

圖論中的最短路徑問題是指在一個圖中，找出兩點之間或多點之間的最短路徑。這裡的「最短」通常是指路徑長度最小，也就是經過的邊數最少或是權重總和最小。最短路徑問題可以分為單源最短路徑問題（single-source shortest path problem）和多源最短路徑問題（all-pairs shortest path problem）。

單源最短路徑問題是指給定一個圖和一個源點，找出從該源點到所有其他點的最短路徑。這類問題可以用貪心算法（如迪傑斯特拉算法，Dijkstra's algorithm）或動態規劃算法（如佛洛伊德算法，Floyd-Warshall algorithm）來解決。

多源最短路徑問題是指給定一個圖，找出所有點對之間的最短路徑。這類問題可以用佛洛伊德算法來解決，該算法可以在 O(n^3) 時間內解決任意加權圖的多源最短路徑問題。

除了這些算法，還有許多其他的方法可以解決最短路徑問題，這些方法的特性和效率取決於圖的特性和要求的精度。例如，對於無向圖和不含負權邊的有向圖，Bellman-Ford 算法可以在 O(VE) 時間內找到單源最短路徑，其中 V 是頂點數，E 是邊數。對於包含負權邊的有向圖，最短路徑問題可能是無解的，或者可能有多個最短路徑。

在實際應用中，最短路徑問題有許多應用，例如在交通網絡中尋找從一個地點到另一個地點的最短路線，在計算機網絡中尋找數據包傳輸的最短路徑，以及在生物學中分析蛋白質互作用網絡等。