圓x2 y2 6x 4y 0上到原點距離最遠的點是

要找到圓 ( x^2 + y^2 + 6x + 4y = 0 ) 上到原點距離最遠的點，我們可以先找出圓的標準方程，然後找出直徑的端點，因為直徑是圓上到圓心距離最長的線段。

圓的標準方程是 ( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 )，其中圓心是 ( (-g, -f) )，半徑是 ( \frac{c}{2} )。為了找到圓心和半徑，我們可以將給定的圓的方程轉換成標準形式。

給定的圓的方程是 ( x^2 + y^2 + 6x + 4y = 0 )，我們可以將這項式重寫為標準形式：

[ x^2 + 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 0 ]

通過配方法，我們得到：

[ (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 9 + 16 ]

這表明圓心是 ( (-3, -2) )，半徑是 ( \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 )。

直徑的端點是圓心兩側各加半個直徑的距離，因此直徑的端點是 ( (-3 \pm 5, -2 \pm 5) )，即 ( (-8, -7) ) 和 ( (2, -3) )。

這兩個點都是到原點距離最遠的點，因為它們是直徑的端點，而直徑是圓上到圓心距離最長的線段。到原點的距離可以通過計算它們與原點的歐幾里得距離來確定：

[ \sqrt{(-8)^2 + (-7)^2} = \sqrt{64 + 49} = \sqrt{113} ]

[ \sqrt{(2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ]

因此，到原點距離最遠的點是 ( (-8, -7) )，距離為 ( \sqrt{113} )。