哈密頓的最小作用原理是什麼

哈密頓的最小作用原理（Hamilton's principle of least action）是古典力學中的一個基本原理，它描述了所有動力學系統的行為。這個原理由威廉·哈密頓在19世紀中期提出，它是歐拉-拉格朗日方程的推導基礎，而歐拉-拉格朗日方程是變分法在力學中的應用。

最小作用原理指出，在給定的初始條件和終止條件下，實際發生的運動是使得某種物理量，稱為作用量（action），達到極小值或極大值的運動。這個作用量是體系在一段時間內的動能與勢能之差，通常用符號S表示，其數學表達式為：

S = ∫[L(q, \dot{q}, t) dt]

其中，L是拉格朗日函數（Lagrangian），它取決於系統的廣義位置（generalized coordinates, q）、廣義速度（generalized velocities, \dot{q}) 和時間（t）。這個積分是在某一時間區間[t0, t1]上進行的。

最小作用原理可以表述為：對於給定的初始條件和終止條件，實際發生的運動滿足這樣的條件，即在所有可能發生的運動中，它的作用量是最小的。這意味著系統的運動是由於它遵循一條特定的路徑，這條路徑使得作用量的數值對於所有可能的運動來說是最小的。

最小作用原理不僅適用於經典力學，而且在量子力學的波恩-奧恩（Born-Oppenheimer）近似中也有應用，並且在量子力學的變分原理中扮演著重要角色。此外，在廣義相對論中，愛因斯坦的場方程也可以通過最小化一個稱為愛因斯坦-希爾德作用量的量來導出。