卡茲如何協助懷爾斯完成證明費馬最後定理的最後一哩路

卡茲（Andrew Wiles）是證明費馬最後定理的關鍵人物，但他在完成證明的過程中並沒有得到懷爾斯（Gerhard Frey）的協助。相反地，是懷爾斯在卡茲開始證明費馬最後定理之前，提出了一個猜想（後來的「懷爾斯猜想」），這個猜想成為卡茲證明費馬最後定理的基礎之一。

費馬最後定理是數學家皮埃爾·德·費馬在17世紀提出的一個猜想，它聲稱對於整數n > 2，不存在三個整數a, b, c，使得等式an + bn = cn成立。這個猜想在數學史上困擾了數學家數百年，直到1994年，卡茲發表了他的證明。

卡茲的證明是一個複雜的過程，它結合了數論、代數幾何和伽羅瓦理論等多個數學領域的知識。卡茲的證明分為兩部分：第一部分是證明一個稱為「模形式猜想」的結果，這個猜想與費馬最後定理密切相關；第二部分是證明一個稱為「谷山-志村猜想」的結果，這個猜想將橢圓曲線與模形式聯繫起來。

懷爾斯在卡茲的證明中扮演的角色是提出了一個猜想，這個猜想後來被證明是費馬最後定理的後果。懷爾斯的猜想是說，如果費馬最後定理不成立，那麼存在一個特定的橢圓曲線，它的謎題數（torsion）不為零。這個猜想後來被稱為「懷爾斯猜想」，它是卡茲證明費馬最後定理的靈感來源之一。

總結來說，卡茲是獨自一人完成了費馬最後定理的證明，而懷爾斯則是通過提出一個相關的猜想，間接地為卡茲的證明提供了一些啟示和方向。