動態規劃 最大正方形區域

動態規劃是一種解決最優化問題的算法策略，它通過解決子問題來推導出整個問題的最優解。在圖形中尋找最大正方形區域的問題可以用動態規劃來解決。

假設我們有一個由0和1構成的矩形陣列，我們需要在這個陣列中找到最大的正方形區域，其中正方形區域中的元素都為1。我們可以使用動態規劃來解決這個問題。

動態規劃的思路是這樣的：我們可以從陣列的左上角開始，向右掃描每一列，並記錄下每一列中最大的連續1的長度。然後，我們可以從陣列的頂部開始，向下掃描每一行，並記錄下每一行中最大的連續1的長度。最後，我們可以將這些長度相乘，得到最大正方形區域的大小。

以下是一個簡單的動態規劃算法來解決這個問題：

def find_max_square(matrix):
    m = len(matrix)
    if m == 0:
        return 0
    n = len(matrix[0])
    if n == 0:
        return 0

    # 初始化dp數組
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]

    # 計算每一列中最大連續1的長度
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if j == 0 or matrix[j][i] == 0:
                dp[j][i] = 0
            else:
                dp[j][i] = dp[j - 1][i] + 1

    # 計算每一行中最大連續1的長度
    max_square = 0
    for i in range(m - 1, -1, -1):
        for j in range(n):
            if i == m - 1 or j == n - 1:
                dp[i][j] = 0
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) + 1
            max_square = max(max_square, dp[i][j])

    return max_square * max_square

# 測試
matrix = [
    [1, 1, 1],
    [1, 0, 1],
    [1, 1, 1]
]

print(find_max_square(matrix))  # 輸出應該是9，因為最大的正方形區域是3x3的

這個算法的時間復雜度是O(mn)，其中m是矩形陣列的行數，n是矩形陣列的列數。空間復雜度是O(mn)，因為我們需要一個與矩形陣列大小相同的dp數組來記錄子問題的答案。