効用最大化問題例題

効用最大化（Utility Maximization）問題是經濟學中一個重要的概念，它涉及到個體如何做出選擇以達到其效用（Utility）的最大化。效用是指個體從消費商品或服務中獲得的滿足程度。以下是一些効用最大化問題的例題和解釋：

例題 1： Alice 有 $100 的預算，她可以購買食品（Food）和書籍（Books）。食品每份 $10，書籍每份 $20。Alice 對食品和書籍的效用函數分別為 U(Food) = Food 和 U(Books) = Books^2。Alice 想要最大化她的效用。

解： 為了最大化效用，Alice 應該購買食品和書籍，直到她不再願意為多一份食品或書籍支付最後一美元。

首先，我們計算食品和書籍的最後一美元的效用。

對於食品： 最後一美元的效用 = U(Food) / 價格 = Food / $10

對於書籍： 最後一美元的效用 = U(Books) / 價格 = Books^2 / $20

Alice 應該購買更多的食品，直到 Food / $10 與 Books^2 / $20 相等。

設 Alice 購買了 F 份食品和 B 份書籍。

F / $10 = B^2 / $20 F = 10 * B^2

因為 F + B = $100，我們可以得到一個方程：

10 * B^2 + B = $100

解這個方程，我們得到 B = 2 或 B = -5（但因為購買數量不能為負，我們舍棄 -5 的解）。

所以，Alice 應該購買 2 份書籍和 $100 - 2 * $20 = $60 的食品。

例題 2： Bob 有 $100 的預算，他可以購買蘋果（Apples）和橙子（Oranges）。蘋果每份 $2，橙子每份 $1。Bob 對蘋果和橙子的效用函數分別為 U(Apples) = √Apples 和 U(Oranges) = Oranges^2。Bob 想要最大化他的效用。

解： 為了最大化效用，Bob 應該購買蘋果和橙子，直到他不再願意為多一份蘋果或橙子支付最後一美元。

首先，我們計算蘋果和橙子的最後一美元的效用。

對於蘋果： 最後一美元的效用 = U(Apples) / 價格 = √Apples / $2

對於橙子： 最後一美元的效用 = U(Oranges) / 價格 = Oranges^2 / $1

Bob 應該購買更多的橙子，直到 Oranges^2 / $1 與 √Apples / $2 相等。

設 Bob 購買了 A 份蘋果和 O 份橙子。

O / $1 = √Apples / $2 O = √Apples / 2

因為 A + O = $100，我們可以得到一個方程：

√Apples / 2 + Apples = $100

解這個方程，我們得到 Apples = $160 和 O = $80。

所以，Bob 應該購買 $160 的蘋果和 $80 的橙子。

這些例題展示了如何使用效用函數和預算約束來解決効用最大化問題。實際情況可能會更為複雜，因為可能涉及多種商品和多個個體，但基本原理是相同的。