分治法求最近點對問題

分治法（Divide and Conquer）是一種常用的算法設計策略，可以用來解決許多問題，包括求最近點對問題。最近點對問題是指在給定的點集中找到兩個點，它們之間的距離比其他任何兩個點之間的距離都要短。

下面是一個使用分治法解決最近點對問題的簡單算法：

1. 將點集分成兩半，並分別在每一半中找到最近的點對。
2. 在第一步中找到的最近點對中，選擇一個點作為中間點。
3. 檢查中間點與另一半點集中每個點的距離，更新最近點對的結果。
4. 重複上述過程，直到點集的大小為1（即找到單獨的最近點），然後將這些最近點對接起來。

以下是一個簡單的Python實現：

def find_nearest_pair(points):
    def recurse(points, start, end):
        if start == end:
            return float('inf'), points[start], points[start]
        mid = (start + end) // 2
        left_dist, left_pair = recurse(points, start, mid)
        right_dist, right_pair = recurse(points, mid + 1, end)
        for p in points[mid + 1:end]:
            l_dist = (points[start] - p).dot(points[start] - p)
            r_dist = (points[mid + 1] - p).dot(points[mid + 1] - p)
            if l_dist > left_dist and r_dist > right_dist:
                left_dist = l_dist
                left_pair = (points[start], p)
            elif l_dist > right_dist:
                right_dist = l_dist
                right_pair = (points[start], p)
        return min(left_dist, right_dist), left_pair if left_dist <= right_dist else right_pair

    n = len(points)
    _, nearest_pair = recurse(points, 0, n - 1)
    return nearest_pair

# 示例
points = [(1, 2), (3, 4), (2, 1), (4, 5)]
nearest_pair = find_nearest_pair(points)
print(nearest_pair)  # 應該輸出 (2, 1)，因為它們之間的距離為 1，這是所有點對中最近的

這個算法的時間複雜度為 O(n log n)，因為它使用了分治法，並且在每一層的遞歸中，點集的大小減少一半。空間複雜度為 O(n)，因為在遞歸過程中最多需要 O(n) 的空間來存儲最近點對的暫時結果。