分治法最大子數組

分治法（Divide and Conquer）是一種常用的算法設計策略，用於解決可以分解為若干個子問題的任務。在處理最大子數組問題時，分治法可以幫助我們有效地找到數組中最大的連續子數組。

最大子數組問題可以表述為：給定一個數組，找到其中元素總和最大的連續子數組。例如，對於數組 [2, 1, -1, 4, 3]，最大的連續子數組是 [4, 3]，其總和為 7。

使用分治法解決最大子數組問題的步驟如下：

1. 分治步驟：

   • 將原始數組 nums 分成兩部分，分別是左半部分 left 和右半部分 right。
   • 使用分治法分別在 left 和 right 中找到最大的連續子數組。
   • 將 left 和 right 的最大子數組與 nums 的中間元素 mid 進行比較。如果 mid 與 left 或 right 的最大子數組相連，則更新最大子數組。

2. 遞歸步驟：

   • 如果 left 或 right 為空，則返回另一部分的最大子數組。
   • 如果 left 和 right 都不為空，則將 left 和 right 的最大子數組與包含 mid 的子數組進行比較，並更新最大子數組。

以下是一個簡單的Python實現：

def maxSubArray(nums):
    def helper(nums, l, r):
        if l == r:
            return nums[l]
        else:
            mid = (l + r) // 2
            left_max = helper(nums, l, mid)
            right_max = helper(nums, mid + 1, r)
            mid_max = maxSubArray(nums[mid:mid + 1])
            return max(left_max, right_max, mid_max + nums[mid])
    return helper(nums, 0, len(nums) - 1)

# 示例
nums = [2, 1, -1, 4, 3]
print(maxSubArray(nums))  # 應該輸出7

這個算法的時間複雜度為 O(n log n)，因為它使用了遞歸和分治法。空間複雜度為 O(n)，因為在遞歸過程中最多需要 n 層的遞歸堆棧。

請注意，這個算法是基於分治法的一般框架，實際上還有更高效的算法來解決最大子數組問題，比如Kadane's algorithm，它的時間複雜度為 O(n)。