函數的最大小值

函數的最大值和最小值是指函數在定義域內所能取到的最大或最小數值。在數學中，找到這些極值點通常涉及對函數的導數進行分析。

最大值和最小值可以分為兩種類型：

1. 局部最大值和最小值：這些是在函數的某一部分中取到的極值，但不一定是整個定義域中的最大或最小值。
2. 全局最大值和最小值：這些是在函數的整個定義域中取到的最大或最小值。

要找到函數的最大值和最小值，通常需要遵循以下步驟：

1. 確定函數的定義域。
2. 找到函數的導數，並檢查在哪裡導數為零或不存在（這些點可能是極值點）。
3. 在導數為零的點，使用二階導數來判斷這些點是局部最大值、最小值還是鞍點。
4. 檢查定義域的端點，因為這些點也可能貢獻最大值或最小值。
5. 通過在導數為零的點和定義域的端點處測量函數值，找到全局最大值和最小值。

例如，考慮函數 f(x) = x^2 - 2x + 3。

1. 定義域是所有實數。
2. 導數 f'(x) = 2x - 2。設 f'(x) = 0，得到 x = 1。
3. 在 x = 1 處，二階導數 f''(x) = 2 > 0，所以 x = 1 是局部最小值。
4. 定義域的端點沒有極限，因為定義域是所有實數。
5. 檢查 f(x) 在 x = 1 和定義域的端點的值，我們發現 f(1) = 2 是全局最小值，因為對於所有 x，f(x) ≥ f(1)。

因此，函數 f(x) = x^2 - 2x + 3 的全局最小值是 f(1) = 2，而函數沒有全局最大值（因為 f(x) 會無限增加，沒有最大值）。