函數求最小值

函數求最小值的方法通常涉及數學中的微分和極值理論。以下是一些常見的方法：

1. 導數法：

   • 對於一元函數，如果 f(x) 在點 x0 處可導，且 f'(x0) = 0，那麼 x0 可能是函數的一個最小值點。
   • 對於多元函數，如果 f(x, y) 在點 (x0, y0) 處的梯度向量 ∇f(x0, y0) = (0, 0)，那麼 (x0, y0) 可能是函數的一個最小值點。

2. 二階導數法：

   • 對於一元函數，如果 f''(x0) > 0，那麼 f(x0) 是一個最小值。
   • 對於多元函數，如果 H(x0, y0)（Hessian 矩陣）半正定，且 f(x0, y0) 是局部極小值，那麼 f(x0, y0) 是一個最小值。

3. 梯度下降法：

   • 梯度下降法是數值優化中的一種方法，它通過疊代更新點的值來尋找函數的最小值。
   • 每次疊代，我們都向梯度相反的方向走一小步，直到達到最小值或達到某個停止條件。

4. 牛頓法：

   • 牛頓法是一種二階方法，用於尋找函數的零點或極值點。
   • 它通過疊代更新點的值來尋找函數的最小值，每次疊代使用二階導數（Hessian 矩陣）來加速搜尋過程。

5. 共軛梯度法：

   • 共軛梯度法是一種結合了梯度下降法和線性代數的優化方法。
   • 它通過計算共軛方向來加速梯度下降法的搜尋過程，從而更快地找到最小值。

6. 內積搜尋法：

   • 內積搜尋法是一種基於一維搜尋的優化方法，用於尋找多元函數的最小值。
   • 它通過在每個方向上進行一維搜尋來找到最小值。

這些方法通常用於數值優化中，以找到函數的局部或全局最小值。實際應用時，需要根據函數的特性和問題的具體情況選擇適當的方法。