函數最大值及最小值的求法是什麼

函數的最大值和最小值是指函數在給定定義域內的極大值和極小值。這些值可以通過一階導數和二階導數的檢驗來確定。

1. 極大值和極小值： 函數在某點的極大值或極小值是指該點附近的函數值不是增加就是減少。極大值是當導數為0，且在導數為0的點左右兩側導數都為正時出現；極小值則是在導數為0，且在導數為0的點左右兩側導數都為負時出現。

2. 導數的應用： 要找到函數的極值，通常會先找到函數的導數。如果函數在一個點的導數為0，那麼這個點可能是函數的一個極值點。接著，需要檢查導數為0的點附近的導數符號，以確定該點是極大值還是極小值。

3. 二階導數的應用： 如果函數的導數在導數為0的點左右兩側變號，那麼這個點是極小值點。如果導數的變號相同，那麼這個點是極大值點。然而，如果函數是多變量的，那麼還需要考慮二階導數，即海塞矩陣（Hessian matrix）。通過檢查海塞矩陣的正定性或負定性，可以進一步確定極值點的性質。

4. 全局最大值和最小值： 函數的全局最大值和最小值是指在整個定義域內的極大值和極小值。這些值可能不是在導數為0的點找到的，有時需要通過比較函數在不同區間上的值來確定。

5. 其他方法： 除了導數法，還有一些其他方法可以用來找到函數的最大值和最小值，例如：

   • 圖形法：通過繪製函數的圖形，可以直接觀察到最大值和最小值。
   • 不等式法：對於含有不等式條件的函數，可以通過解不等式來找到最大值和最小值。
   • 參數法：對於含有參數的函數，可以通過對參數進行極限運算來找到最大值和最小值。

總之，求函數的最大值和最小值通常涉及導數的計算和分析，有時還需要結合其他方法來確定全局極值。