凸函數最佳化蔡坤諭

"凸函數最佳化" 是一個數學優化領域的概念，它涉及到尋找凸函數的極值。在這篇文章中，我們將簡要介紹凸函數的最佳化問題，並提供一個例子來幫助理解這個概念。

凸函數的定義

在數學中，一個函數被稱為凸函數，當滿足以下兩個條件：

1. 局部凸性 (Local Convexity): 對於任何給定的點 x，函數 f 在 x 點處的任意兩個鄰近點 x1 和 x2 上的值不超過直線連接 f(x1) 和 f(x2) 的值。

   [ f(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2) ] 其中 0 \leq \lambda \leq 1。

2. 全局凸性 (Global Convexity): 函數 f 的二階偏導數 (如果存在的話) 對於所有 x 都是非負的。

   [ \nabla^2 f(x) \succeq 0 ]

凸函數最佳化問題

凸函數最佳化問題是指找到一個凸函數 f 的最小值或最大值。這種問題通常可以用以下形式表示：

[ \min_{x \in \mathcal{X}} f(x) ]

其中 \mathcal{X} 是搜尋空間，即所有可能解的集合。

凸函數最佳化例子

考慮一個簡單的凸函數最佳化問題：最小化一個二次函數。假設我們想要最小化函數 f(x) = x^2 在閉區間 [-1, 1] 上。

首先，我們需要證明 f(x) = x^2 是一個凸函數。這可以通過檢查二階導數來完成：

[ f''(x) = 2 ]

因為 f''(x) \geq 0，所以 f(x) = x^2 是一個凸函數。

現在，我們可以解決這個最佳化問題。因為 f(x) 是凸函數，所以最小值一定出現在區間的端點或任何局部最小值點上。在這個例子中，f(x) 沒有局部最小值，因此最小值一定出現在區間的端點。

[ f(-1) = (-1)^2 = 1 ] [ f(1) = (1)^2 = 1 ]

因為 f(x) 在閉區間 [-1, 1] 上沒有其他極小值點，所以最小值就是 f(-1) 和 f(1) 中的較小者。

[ \min_{x \in [-1, 1]} f(x) = \min { f(-1), f(1) } = \min { 1, 1 } = 1 ]

因此，最小值是 1，在 x = -1 和 x = 1 處達到。

這個例子展示了如何使用凸函數的最佳化來解決一個簡單的數學問題。在實際應用中，凸函數最佳化問題可以用梯度下降法或牛頓法等算法來解決。