全源最短路徑怎麼算

全源最短路徑（All-pairs shortest paths, APSP）問題是指給定一個帶有邊權的圖，找出所有頂點對之間的最短路徑。這個問題的難度隨著圖的大小呈指數增長，因為可能的頂點對數量是頂點數的平方。

以下是一些解決APSP問題的方法：

1. 暴力法（Brute Force）：對於每個頂點對，使用迪傑斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）或斐波那契搜尋（Fibonacci search）來找出最短路徑。時間複雜度為O(n^3)，其中n是圖中頂點數。

2. Floyd-Warshall算法：時間複雜度為O(n^3)，空間複雜度為O(n^2)。它通過在所有可能的頂點之間插入虛擬中間點來工作，然後檢查所有可能的出發點和目的地。

3. Johnson's algorithm：時間複雜度為O(n^2)，空間複雜度為O(n^2)。這是一個貪心算法，它首先將圖中的所有負權邊變成正權邊，然後使用Floyd-Warshall算法來找出所有頂點對之間的最短路徑。

4. 使用迪傑斯特拉算法或A算法：對於每個頂點，使用迪傑斯特拉算法或A算法來找出到所有其他頂點的最短路徑。時間複雜度為O(n^2 * log n)，空間複雜度為O(n^2)。

5. 使用Bellman-Ford算法：對於每個頂點，使用Bellman-Ford算法來找出到所有其他頂點的最短路徑。時間複雜度為O(n^2)，空間複雜度為O(n^2)。

6. 使用強化學習：最近的研究表明，強化學習可以有效地用來解決APSP問題。時間複雜度和空間複雜度取決於強化學習算法的具體實現。

選擇哪種方法取決於圖的大小、邊權的特性和可用的計算資源。對於小圖，暴力法或使用迪傑斯特拉算法可能是可行的。對於中等到大型圖，Floyd-Warshall算法或Johnson's algorithm可能是更好的選擇。對於非常大型的圖，可能需要使用更高效的算法或強化學習方法。