什麼是｢最優｣回歸方程

在統計學中，特別是在迴歸分析中，「最優」迴歸方程通常指的是最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）估計的迴歸方程。這種方法旨在找到一組迴歸係數，使得因變量（依變量）的觀察值與預測值之間的誤差平方和最小。

最小二乘法的基本思想是：設y為因變量，x為自變量，β0為截距，β1為斜率，ε為誤差項，則迴歸模型可以表示為：

y = β0 + β1x + ε

最小二乘法估計的目標是找到最佳的β0和β1，使得以下誤差平方和最小：

SSE = Σ(y_i - β0 - β1x_i)^2

其中，y_i是第i個觀察值的因變量值，x_i是第i個觀察值的自變量值。

通過最小化SSE，我們可以得到最優的迴歸方程，這時的迴歸線能夠最好地擬合數據，即誤差最小。這種方法得到的迴歸方程是最線性的，並且在給定數據的條件下，誤差項ε的期望值為零。

最小二乘法估計的優點包括：

1. 無偏性：OLS估計的係數是有偏的，即E(β̂) = β。
2. 有效性：在某些條件下，OLS估計是最有效的，即在所有無偏估計量中，它的方差最小。
3. 假設條件少：只需要假設誤差項ε是隨機的，獨立同分布的，並且具有常態分佈或類似分佈的特徵。

然而，最小二乘法估計並不是萬能的，它有時會受到異方差、自相關和多重共線性等問題的影響。在這些情況下，可能需要使用其他迴歸方法或進行數據轉換來解決這些問題。