什麼是標準二階系統步階響應的最大超越量

在控制理論中，標準二階系統的步階響應（step response）是指當系統輸入一個單位階躍函數（即在時間t=0時輸入從0突然變為1的函數）時，系統的輸出對時間的響應。最大超越量（maximum overshoot）是指系統響應達到穩態值之前，輸出量超過其最終穩態值的最大幅度。

對於標準二階系統，其動態方程通常可以表示為如下形式：

[ \ddot{y} + 2\zeta \omega_n \dot{y} + \omega_n^2 y = \frac{1}{K} ]

其中，( y ) 是輸出量，( \ddot{y} ) 和 ( \dot{y} ) 分別是其導數，( \zeta ) 是阻尼比，( \omega_n ) 是自然頻率，( K ) 是系統增益。

當系統受到一個單位階梯函數的輸入時，其穩態響應（即最終的輸出量）為：

[ y_{\text{ss}} = \frac{1}{K} ]

而其暫態響應（即從初始狀態到穩態的過程）則取決於系統的動態特性。在沒有失調（damping）的情況下（即( \zeta = 0 )），系統的暫態響應會呈現等幅振盪，這種情況下不存在最大超越量。

當系統有足夠的阻尼（( \zeta > 0 )）時，系統的響應會逐漸衰減到穩態值。最大超越量( M_p )是指系統輸出量超過其穩態值的最大幅度，可以用下式表示：

[ Mp = \frac{y{\text{max}} - y{\text{ss}}}{y{\text{ss}}} ]

其中，( y_{\text{max}} ) 是暫態響應的最大值。

標準二階系統的最大超越量與系統的阻尼比( \zeta )和自然頻率( \omega_n )有關。根據控制理論的結果，當阻尼比為0.707（即臨界阻尼）時，最大超越量達到最小值，這個最小值稱為臨界最大超越量，用( M_p^c )表示：

[ M_p^c = \sqrt{1 - \frac{1}{K^2}} ]

當( K )較大時，( M_p^c )較小，這意味著系統的暫態響應較好，即系統能夠更快地達到穩態，並且在達到穩態之前不會有過大的振盪。