什麼是最小二乘平差

最小二乘平差是一種數學最佳化技術，用於在存在誤差的情況下調整一組觀測數據，以找到最佳的模型參數估計值。這種方法的目標是使觀測值與模型預測值之間的誤差平方和最小化。

在實踐中，最小二乘平差通常用於以下幾種情況：

1. 線性回歸：當試圖擬合一個線性模型（如直線）到一組數據點時，最小二乘平差可以找到最佳的直線方程，使得所有數據點的誤差平方和最小。

2. 參數估計：在統計學中，最小二乘平差可以用來估計模型的參數，例如在多元線性回歸中，通過最小化誤差平方和來估計多個變數的係數。

3. 信號處理：在濾波器和圖像處理等領域，最小二乘平差可以用來去除噪聲，恢復原始信號或圖像。

4. 導航和定位：在GPS和其他導航系統中，最小二乘平差可以用來估計位置、速度和時間等參數，考慮到測量誤差和系統誤差。

最小二乘平差的基本步驟如下：

1. 定義模型：首先，需要建立一個數學模型來描述觀測數據之間的關係。這個模型通常包含一些參數，這些參數是需要通過平差過程來估計的。

2. 構建誤差函式：誤差函式是模型預測值與實際觀測值之間誤差的度量。在最小二乘平差中，誤差函式通常是誤差向量的平方和，即誤差函式 E = (y - Xβ)^T(y - X*β)，其中 y 是觀測向量，X 是設計矩陣，β 是模型參數向量。

3. 最小化誤差函式：通過求解誤差函式的偏導數為零的方程組，找到使誤差函式最小的參數估計值。這個過程通常可以通過矩陣求逆、QR分解、梯度下降等方法來實現。

最小二乘平差的結果是得到一組最優的模型參數估計值，這些估計值使得觀測數據與模型預測之間的誤差最小。這種方法假設誤差是隨機且相互獨立的，並且遵循高斯分布。在實際套用中，最小二乘平差是一種非常有效和廣泛使用的參數估計方法。