什麼是二次最佳化

二次最佳化（Quadratic optimization）是指在數學規劃中，尋找一個向量的值，以最小化或最大化一個給定的二次函數，同時滿足線性等式和不等式限制。二次函數的形狀是凸的，這意味著它的曲線從任何一點向任何方向彎曲，並且它有一個單一的極小值或極大值點。

在數學上，二次最佳化問題可以表示為以下形式：

[ \begin{aligned} & \text{minimize} \quad f(x) = \frac{1}{2} x^T H x + g^T x + r \ & \text{subject to} \quad Ax = b \ & \quad \quad \quad \quad l \leq x \leq u \end{aligned} ]

其中，$x \in \mathbb{R}^n$是決策變量向量，$f(x)$是目標函數，$H$是$n \times n$的實數二次項係數矩陣，$g$是$n \times 1$的實數一次項係數向量，$r$是常數項，$A$是$m \times n$的係數矩陣，$b$是$m \times 1$的常數向量，$l$和$u$分別是決策變量的下限和上限。

二次最佳化問題在許多領域都有應用，例如機器學習、信號處理、金融工程、電力系統優化和組合優化等。由於二次函數的凸性，二次最佳化問題通常可以使用有效的方法來解決，例如梯度下降法、牛頓法或專門為解決這種問題而設計的算法，如 interior point methods。