什么是最小二乘問題

最小二乘問題是一種數學優化問題，它的目標是在給定的數據點和一個模型（通常是一個線性模型）之間找到最佳的匹配。這個問題通常用於數據擬合、回歸分析和信號處理中。

最小二乘問題的目標函數是平方誤差的總和，它們是由模型預測的值和實際數據點之間的差異。通過最小化這個目標函數，我們可以找到模型的參數，這些參數使得模型與數據之間的誤差最小。

最小二乘問題的公式可以表示為：

[ \min{\theta} \sum{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 ]

其中 ( \theta ) 是模型的參數，( y_i ) 是第 ( i ) 個數據點的實際值，( \hat{y}_i ) 是模型對應於數據點 ( y_i ) 的預測值。

在線性回歸中，最小二乘問題的模型通常表示為 ( \hat{y}_i = \theta^T x_i )，其中 ( x_i ) 是數據點的橫標，( \theta ) 是模型的參數向量。

最小二乘問題的優點是它對離群點具有較好的魯棒性，並且可以很容易地通過解析方法（如高斯-賽爾弗里奇法）或梯度下降等數值方法來解決。