交替最小化法

交替最小化法（Alternating Minimization）是一種最佳化算法，用於尋找多個變數的函式的最小值。這種算法通過交替最佳化每個變數，同時保持其他變數固定，從而逐步逼近最優解。

交替最小化法的步驟如下：

1. 初始化所有變數。
2. 選擇一個變數進行最佳化，同時保持其他變數固定。
3. 更新這個變數的值，使其滿足新的最佳化目標。
4. 重複步驟2和3，對所有變數輪流進行最佳化。
5. 檢查是否達到了收斂條件，如果達到了，則停止算法，否則返回步驟2。

交替最小化法在實踐中通常用於解決凸最佳化問題，因為對於凸問題，這種方法可以保證找到全局最小值。然而，對於非凸問題，交替最小化法可能只能找到局部最小值或者陷入鞍點。

交替最小化法的一個典型套用是在機器學習和信號處理中的矩陣分解問題，比如在主成分分析（PCA）中，交替最小化法可以用於交替更新特徵向量和對應的投影矩陣。

交替最小化法的一個變體是交替方向乘子法（ADMM），它是一種用於解決凸最佳化問題的疊代算法，通過引入額外的變數和懲罰項來最佳化目標函式。ADMM在解決大規模最佳化問題時表現出色，因為它可以有效地處理大量的數據。