交替最小化方法

交替最小化（Alternating Minimization）是一種最佳化算法，用於解決凸最佳化問題。它是一種疊代算法，通過交替最佳化問題的不同部分來找到全局最小值。

交替最小化方法的工作原理如下：

1. 首先，將最佳化問題分解為兩個或多個子問題。
2. 然後，交替解決這些子問題，每次只最佳化一個子問題，而保持其他變數不變。
3. 重複這個過程，直到達到收斂條件，即算法的輸出不再顯著變化。

交替最小化方法的一個典型套用是對稱正定矩陣分解問題。這個問題可以表示為以下形式：

[ \min_{X, Y} \quad f(X, Y) \quad \text{subject to} \quad X^T Y = Y^T X ]

這個問題可以分解為兩個子問題：

[ \min_{X} \quad f(X, Y) \quad \text{subject to} \quad X^T Y = Y^T X ]

[ \min_{Y} \quad f(X, Y) \quad \text{subject to} \quad X^T Y = Y^T X ]

交替最小化方法通過交替解決這兩個子問題來找到全局最小值。首先，固定Y，最佳化X；然後，固定X，最佳化Y。這個過程一直重複，直到收斂。

交替最小化方法是一種簡單有效的最佳化算法，它不需要對整個問題進行複雜的聯合最佳化，而是通過交替最佳化來找到全局最小值。這種算法在許多實際問題中都有套用，如機器學習、信號處理等。