交替最小化技術

交替最小化（Alternating Minimization）是一種優化算法，用於解決具有特殊結構的優化問題。這種算法通常用於解決凸優化問題，其中目標函數可以分成幾個部分，並且每個部分都對應於一個變量。

交替最小化算法的工作原理是交替更新每個變量，同時保持其他變量不變。具體來說，對於一個優化問題

[ \min_{x, y} f(x, y) \quad \text{s.t.} \quad x \in X, \ y \in Y ]

如果我們可以將目標函數寫成兩個部分函數的和，即

[ f(x, y) = g(x) + h(y) ]

那麼交替最小化算法就可以通過以下步驟來更新變量：

1. 保持y不變，找到x的最小值：( x{k+1} = \arg\min{x \in X} g(x) + h(y_k) )
2. 保持x不變，找到y的最小值：( y{k+1} = \arg\min{y \in Y} g(x_{k+1}) + h(y) )
3. 重複步驟1 和 2，直到變量不再顯著改變或者達到某個預定的停止條件。

交替最小化算法的優點在於它們通常簡單易實現，並且在許多情況下具有很好的收斂性質。然而，這種算法的成功很大程度上取決於問題的結構，以及是否能夠有效地解決每個變量的更新問題。

交替最小化技術在許多領域都有應用，例如機器學習中的多類別支持向量機（SVM）、圖形模型中的協調優化問題，以及信號處理中的稀疏編碼問題等。