交替最小二乘法

交替最小二乘法（Alternating Least Squares, ALS）是一種用於解決矩陣分解問題的疊代算法。在推薦系統中，ALS 常用於矩陣分解來預測用戶對項目的評分。

假設我們有一個用戶-項目評分矩陣 ( R )，其中 ( R_{ij} ) 表示用戶 ( i ) 對項目 ( j ) 的評分。矩陣分解的目的是找到兩個低秩矩陣 ( U )（用戶隱因子矩陣）和 ( V )（項目隱因子矩陣），使得 ( R \approx UV^T )。這裡的 ( U ) 和 ( V ) 都是 ( m \times k ) 和 ( k \times n ) 的矩陣，其中 ( m ) 是用戶數，( n ) 是項目數，( k ) 是隱因子的數量。

ALS 算法的步驟如下：

1. 初始化 ( U ) 和 ( V ) 為隨機矩陣。
2. 對於矩陣 ( U )，固定 ( V ) 計算 ( U ) 的最優值，使得 ( U V^T ) 最小化 ( R ) 與 ( U V^T ) 之間的誤差。這可以通過最小二乘法（Least Squares）來完成。
3. 對於矩陣 ( V )，固定 ( U ) 計算 ( V ) 的最優值，使得 ( U V^T ) 最小化 ( R ) 與 ( U V^T ) 之間的誤差。
4. 重複步驟 2 和 3，直到 ( U ) 和 ( V ) 的值收斂，即相鄰疊代之間的變化小於某個閾值。

ALS 算法的偽代碼如下：

初始化隨機矩陣 U, V

while 沒有收斂 do
    for each user i do
        for each item j do
            計算 R_{ij} - U_i V_j^T 的梯度
            更新 U_i 和 V_j 以最小化梯度
    end for

    for each item j do
        for each user i do
            計算 R_{ij} - U_i V_j^T 的梯度
            更新 U_i 和 V_j 以最小化梯度
    end for
end while

ALS 算法的優點是簡單、高效，並且可以處理大規模數據集。它在實踐中被證明是一種有效的推薦系統技術。