二階最小平方迴歸是什麼

二階最小平方迴歸（Second-Order Least Squares Regression），也稱為二階多項式迴歸（Polynomial Regression of Degree 2），是一種使用二階多項式來擬合數據點的統計方法。在這種方法中，我們會建立一個二階多項式方程，使得方程的係數能夠最小化誤差平方和。

假設我們有一組數據點{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我們想要找到一個二階多項式方程

y = ax^2 + bx + c

來最佳地擬合這些數據點。這裡，a, b, c是我們要找到的係數。

最小平方迴歸的目標是找到這些係數，使得方程對應的曲線能夠最小化所有數據點的垂直距離的平方和。這個平方和被稱為總體誤差（Total Sum of Squares, TSS），可以用公式表示為：

TSS = Σ(yi - ax^2 - bx - c)^2

其中，yi是數據點的實際值，ax^2 + bx + c是使用係數a, b, c計算的預測值。

為了找到使TSS最小的係數a, b, c，我們可以使用以下公式來計算係數：

a = (Σ(x^2)) / (Σ(x^2)^2 - (Σx)^2) b = (Σ(xy)) / (Σ(x^2)^2 - (Σx)^2) c = (Σ(y)) / (Σ(x^2)^2 - (Σx)^2) - (Σ(x)) / (Σ(x^2)^2 - (Σx)^2) a - (Σ(1)) / (Σ(x^2)^2 - (Σx)^2) b

其中，Σ(x^2), Σ(xy), Σ(y), Σ(x), Σ(1)分別表示數據點的x和y坐標的各種和。

找到這些係數後，我們就可以使用這個二階多項式來預測新的數據點的值。這種方法通常用於數據具有某種趨勢或模式，並且可以用一個二階多項式來近似表示的情況。