二次拋物線最小二乘法

最小二乘法是用來求解最佳擬合曲線或平面的一種方法，常用於數據擬合和回歸分析。在二次拋物線的情況下，最小二乘法可以用來找到一個二次方程，它最好地擬合給定的數據點。

給定一個數據集 ((x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, yn))，我們想要找到一個二次拋物線 (y = ax^2 + bx + c)，使得誤差平方和 (SSE = \sum{i=1}^n (y_i - (ax_i^2 + bx_i + c))^2) 最小化。

為了找到最佳的 (a), (b), (c)，我們可以使用偏導數來求解方程組。設 (SSE(a, b, c) = \sum_{i=1}^n (y_i - (ax_i^2 + bx_i + c))^2)，我們要找到 (\frac{\partial SSE}{\partial a} = 0), (\frac{\partial SSE}{\partial b} = 0), (\frac{\partial SSE}{\partial c} = 0)。

經過計算，我們得到以下三個方程：

[ \sum_{i=1}^n (2ax_i^2 + 2bxi) = 2\sum{i=1}^n y_ix_i^2 ]

[ \sum_{i=1}^n (2axi + 2b) = 2\sum{i=1}^n y_ix_i ]

[ \sum{i=1}^n 1 = 2\sum{i=1}^n y_i ]

這三個方程組成一個方程組，可以用高斯消元法或直接解出 (a), (b), (c)。

一旦我們得到了 (a), (b), (c)，我們就可以用它們來表示二次拋物線 (y = ax^2 + bx + c)，這條線最好地擬合給定的數據點。