二次函數的最大值和最小值是什麼

二次函數是指形如y = ax^2 + bx + c的函數，其中a、b、c是常數，a不為零，且x是自變量。二次函數的圖像是一條曲線，稱為二次曲線，當a > 0時，曲線為一顆倒轉的「U」形，當a < 0時，曲線為一顆「U」形。

二次函數的最大值和最小值是指函數值域中的極大值和極小值。對於給定的二次函數，我們可以通過求解其導數來找到這些極值點。

1. 極小值（最小值）：當導數等於零且二階導數小於零時，函數取得極小值。極小值點通常稱為最小值點，因為在這個點附近的函數值通常比兩邊的都要小。

2. 極大值（最大值）：當導數等於零且二階導數大於零時，函數取得極大值。極大值點通常稱為最大值點，因為在這個點附近的函數值通常比兩邊的都要大。

需要注意的是，二次函數的最小值總是存在的，但最大值可能不存在，這取決於函數的形狀和開口方向。例如，當a > 0時，函數有最小值，但可能沒有最大值；當a < 0時，函數有最大值，但可能沒有最小值。

為了找到二次函數的最小值，我們可以將其配方，將其寫成標準形y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)是函數的頂點。最小值就是頂點的y值，即k。

為了找到二次函數的最大值，我們可以通過求導數和二階導數來確定函數的極大值點，並檢查這些點是否為最大值點。如果函數有最大值，那麼最大值通常是在函數的開口方向上找到的。