二次函數最小值怎麼算

二次函數的最小值可以通過對其進行配方（completing the square）或者使用導數來計算。二次函數的一般形式為 y = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 是常數，且 a 不能為零。

配方的方法：

1. 將二次項移到等式的一邊，常數項移到另一邊，得到 y = ax^2 + bx + c 的標準形式。
2. 如果 a 不是 1，將方程中的 a 提取出來，得到 y = a(x^2 + (b/a)x + (c/a))。
3. 將括號中的項分成兩部分，即 x^2 + (b/a)x，然後將這部分配方，即加上或減去 (b/2a)^2，使得等式左邊變成完全平方式。這一步需要確保 b^2 - 4ac 的值是非負的，否則二次函數沒有最小值，而是一個開口向上的拋物線。
4. 配方後，將等式左邊寫成一個完全平方式，得到 y = a(x + (b/2a))^2 + (4ac - (b/2a)^2)。
5. 觀察配方後的結果，可以發現最小值就是 (4ac - (b/2a)^2)。

使用導數的方法：

1. 找到二次函數的導數，即 y' = 2ax + b。
2. 設 y' = 0，解這個方程以找到函數的極值點。
3. 檢查這個極值點是否在函數的定義域內。
4. 使用極值點和函數的終點（如果有）來確定函數的最值。

例如，考慮二次函數 y = x^2 - 4x + 3。

配方方法：

• 將二次項和一次項移到等式的一邊，得到 y = x^2 - 4x + 3。
• 配方：將等式分成兩部分，即 x^2 和 -4x，然後加上 (2)^2 / 4，得到 y = (x - 2)^2 - 1。
• 配方後的結果是一個完全平方式，所以最小值就是 -1。

使用導數的方法：

• 找到導數 y' = 2x - 4。
• 設 y' = 0，解這個方程得到 x = 2。
• 檢查這個極值點是否在函數的定義域內（是）。
• 因為函數的定義域是 R，且函數是連續的，所以這個極值點就是最小值點。
• 將 x = 2 代入原函數，得到 y = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。

所以，無論是用配方還是導數的方法，都可以得出這個二次函數的最小值是 -1。