二元樹最小高度

二元樹（Binary Tree）的最小高度取決於樹的結構和節點的數量。在最佳情況下，二元樹可以達到最小高度，這時樹是平衡的。

對於一棵具有n個節點的二元樹，當它是完全平衡的，即所有葉子都在同一層，且除了最深的層可能有節點不滿外，其他層都填滿時，它的最小高度可以計算如下：

完全平衡的二元樹的最深層（即最接近根的層）將有2^(k-1)個節點，其中k是這層的層數。
因為每一層的節點數量都是2倍於其下層，所以最深的層將有2^(k-1)個節點，而第二深的層將有2^(k-2)個節點，以此類推，直到第一層（根層）有2^0 = 1個節點。
因此，對於一棵具有n個節點的完全平衡二元樹，我們可以設置方程式： n = 1 + 2^0 + 2^1 + ... + 2^(k-1)
這是一個等比數列求和的問題，其和可以表示為： n = 1 (1 - 2^(k-1)) / (1 - 2) n = 1 (1 - 2^(k-1)) / (1 - 1) n = 1 * (1 - 2^(k-1)) / 1 n = 1 - 2^(k-1)
為了找到k，我們需要解這個方程： 1 - 2^(k-1) = n 2^(k-1) = 1 - n k-1 = log2(1 - n) k = 1 + log2(1 - n)

因此，當n個節點的完全平衡二元樹是最小高度時，其高度k等於1加上以2為底對數的(1 - n)。

例如，如果一棵二元樹有8個節點（n = 8），那麼：

k = 1 + log2(1 - 8) k = 1 + log2(-7)

因為對數的底是2，所以這是一個無意義的數字，因為沒有正數的對數是負數。這意味著不存在完全平衡的二元樹，其有8個節點且高度為1。實際上，一棵具有8個節點的二元樹的最小高度是3，因為它可以是這樣的結構：

這棵樹的高度是3，因為最深的層有4個節點，所以k = 2 + 1 = 3。