世界上十大難題

世界上十大難題（也稱為「世界七大難題」或「千禧年獎問題」）是由克雷數學研究所於2000年提出的七個數學問題。這些問題涵蓋了廣泛的數學領域，包括幾何、拓撲、數論、分析等。研究所為每一個問題提供了100萬美元的獎金，用於解決這些問題的數學家或數學家團隊。截至我的知識更新日期（2023年），其中六個問題已經得到了解決，而最後一個問題——黎曼猜想——仍然是未解的。以下是這些問題的列表：

彭加萊猜想（Poincaré Conjecture）：這個問題涉及三維空間的幾何學，特別是關於三維流形的分類。俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼（Grigori Perelman）的工作最終解決了這個問題，他因此獲得了2006年的菲爾茲獎。
納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equations）：這個問題是關於流體動力學的基本方程的解的存在性和光滑性。這個問題尚未解決。
霍奇猜想（Hodge Conjecture）：這個問題涉及代數幾何和拓撲學，特別是關於代數簇的霍奇類的性質。這個問題尚未解決。
黎曼猜想（Riemann Hypothesis）：這個問題是關於整數素數分佈的理論，特別是黎曼ζ函數的性質。這是唯一一個尚未解決的千禧年獎問題。
楊-米爾斯理論（Yang-Mills Existence and Mass Gap）：這個問題是關於量子場論中的楊-米爾斯場的存在性和質量缺口。這個問題尚未解決。
波紋面問題（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）：這個問題是關於淺田橢圓曲線的素點分佈，特別是關於淺田函數的性質。這個問題尚未解決。
納衛爾-斯托克斯方程（Navier-Stokes Existence and Decay）：這個問題是關於流體動力學的基本方程的解的存在性和衰減性。這個問題尚未解決。

這些問題的解決不僅對數學本身有著深遠的影響，而且在物理學、工程學和其他科學領域也有著重要的應用。